8÷2(2+2)=16 কেন?1 কেন নয়?

 

বর্তমানে নানা আলোচনার কেন্দ্রে রয়েছে একটি ম্যাথ যেটি হচ্ছে -

8÷2(2+2)=? এটার উত্তর 16 নাকি 1 তা নিয়েই যত সমস্যা।কেউ কেউ বলছে ১৬ যখন কেউ কেউ বলছে ১।তো এত ঝামেলা না করে ক্যালকুলেটরে সমস্যাটা দিয়ে দিলেই তো সমাধান হলে যায়।কিন্তু এখানেও সমস্যা ।কারো কারো ক্যালকুলেটর বলছে এর উত্তর ১৬ আবার কারো কারো ১। কিন্তু এটা তো পাটিগণিত,এক সমস্যার সমাধান ২ টা আসবে না।তো এরকম ঝামেলার কারণ কি আর এ ম্যাথ এর সমাধান কি তা নিয়েই আজকের আলোচনা।

␥প্রথমে শুরু করা যাক এত ঝামেলার কারন নিয়ে।

তো এত ছোট খাট একটা math এর সমাধান নিয়ে এত ঝামেলা কেন?
এর কারণ হচ্ছে Order of operations বা কোন টার্ম এর পর কোন টার্ম ফলো করতে হবে সে ধারা।আমরা ছোটবেলা থেকে পড়ে আসছি যে,Order of operations হচ্ছে - 𝐁-𝐎-𝐃-𝐌-𝐀-𝐒 যেখানে ,
𝐁 = Bracket ( বন্ধনী)
𝐎 = Of (এর)
𝐃 = Division( ভাগ )
𝐌 = Multiplication (গুণ)
𝐀 = Addition(যোগ)
𝐒 = Subtraction(বিয়োগ)
আর এধারা অনুযায়ী ই সকল সমস্যা সমাধান করতে হবে। মানে প্রথমে বন্ধনী তারপর এর তারপর ভাগ ,গুণ, যোগ,বিয়োগ।কিন্তু যত সমস্যার মূল এখন থেকেই। উইকিপিডিয়ার মতে, এখানে ভাগ ও গুণ করার প্রাধান্য সমান এবং যোগ ও বিয়োগ করার প্রাধান্য সমান।মানে কিছুটা এরকম - Bracket,Or/Division/Multiplication, Addition/Subtraction অথবা Bracket,Order, Division/Multiplication, Addition/Subtraction [লক্ষণীয় যে, যদি 𝐎=Order ধরা হয় তবে গুণ বা ভাগ থেকে এর প্রাধান্য বেশি কিন্তু 𝐎=Or ধরা হলে" এর "এর প্রাধান্য গুণ বা ভাগ এর সমান।

তবে যদি একই সমস্যায় গুণ ভাগ ২ টাই থাকে তবে কি হবে?সেক্ষেত্রে LTR(Left To Right) বা বাম থেকে ডান নীয়মে যেতে হবে।এর মানে যে টার্ম আগে থাকবে সে বেশি প্রাধান্য পাবে 

এক্ষেত্রে দেখতে গেলে ঐ সমস্যার সমাধান হয় নিম্নরূপ -

8÷2(2+2)

=8÷2×4       

=4×4           

=16             

✱আবার বর্তমানে বিশ্বে মোট ৪ টা order of operations আছে।-

1. 𝐏𝐄𝐌𝐃𝐀𝐒 𝐏arentheses (Bracket),𝐄xponents(power), 𝐌ultiplication/𝐃ivision, 𝐀ddition/𝐒ubtraction (যুক্তরাষ্ট্র এটা ব্যবহার করে থাকে )
2. 𝐁𝐄𝐃𝐌𝐀𝐒 -𝐁racket,𝐄xponents(power), 𝐃ivision/𝐌ultiplication, 𝐀ddition/𝐒ubtraction ( অস্ট্রেলিয়া ও কানাডায় ব্যবহার করা হয় থেকে)
3. 𝐁𝐎𝐃𝐌𝐀𝐒- উপরে দেওয়া আছে (যুক্তরাজ্য,বাংলাদেশ,ভারত, নাইজেরিয়া ও কিছু ওয়েস্ট আফ্রিকান দেশ এ এটা ব্যবহৃত হয় থেকে)
4. 𝐁𝐈𝐃𝐌𝐀𝐒 - 𝐁racket,𝐈ndices, 𝐃ivision/𝐌ultiplication, 𝐀ddition/𝐒ubtraction(যুক্তরাজ্য ব্যবহার করে থাকে)

["/" দিয়ে ২ টার সমান প্রাধান্য ও "," দিয়ে ধারা বোঝান হয়েছে এবং সকল টার্ম এই গুন ভাগ ২ টাই থাকলে LTR ব্যবহার করতে হবে।]

যদিও মূল টার্ম হচ্ছে ২ টা 𝐁𝐎𝐃𝐌𝐀𝐒 আর 𝐏𝐄𝐌𝐃𝐀𝐒।

✱তো 𝐏𝐄𝐌𝐃𝐀𝐒 দিয়ে এ সমস্যাটা সমাধান করলে কি হয় দেখা যাক -

8÷2(2+2)

=8÷2×4    

=4×4         [∵ গুন ও ভাগ উভয় ই রয়েছে তাই LTR ব্যবহার করে]

=16

তো এর মাধ্যমেও এনসার হয় ১৬। তাহলে ১ হয় কিভাবে?

আসলে আপনি যদি অথেন্টিক পদ্ধতিতে করতে চান তবে ১ বের হবে না।কিন্তু যারা এক বের করে এনসর হিসেবে তারা নানা যুক্তি দিয়ে থাকে যা লোকভেদে ভিন্ন। তো এটা নিয়ে মূলত ২ টা কারণ পাওয়া যায় -

1. 𝐏𝐄𝐌𝐃𝐀𝐒 এ গুণের প্রাধান্য দেয়া।
2. গুণের বণ্টন বিধী ব্যবহার করে ব্র্যাকেট এর কাজ করা।

␥তো তাদের এ যুক্তিগুলো কেন ভুল?

১.𝐏𝐄𝐌𝐃𝐀𝐒 এ গুণের প্রাধান্য দেয়া।

এতে তারা 𝐏𝐄𝐌𝐃𝐀𝐒 টার্ম টিতে 𝐌 শব্দটি আগে দেখে গুণের গুরত্ব বা প্রাধান্য ভাগ অপেক্ষা বেশি দিয়ে থাকে।যেখানে উইকিপিডিয়াতে স্পষ্ট ভাবে উদাহরণসহ বলা আছে যে -

These mnemonics may be misleading when written this way.[5] For example, misinterpreting any of the above rules to mean "addition first, subtraction afterward" would incorrectly evaluate the expression[5]
10 − 3 + 2.The correct value is 9 (not 5, as would be the case if you added the 3 and the 2 before subtracting from the 10).

২.গুণের বণ্টন বিধির ব্যবহার করা।

কেউ কেউ আবার গুণের বণ্টন বিধির ব্যবহার কে এভাবে উত্তর ১ এনে থাকে-

8÷2(2+2)

=8÷(4+4)      [গুণের বন্টনবিধি মতে]

=8÷8

=1

কিন্তু এখানে গুণের বণ্টন বিধির ব্যবহার করা হয় যেটা কিনা গুন কিন্তু ব্যবহার করা হয় ব্র্যাকেট এর মাঝের কাজ করার জন্য।যেটা গ্রহণযোগ্য নয়।

তো এতক্ষণ বকবক এর পরও যদি কেউ বুঝতে না পারেন তবে কমেন্ট করুন।উত্তর দিতে চেষ্টা করব।



তথ্যসূত্রঃ
Wikipedia
Order of Operation